\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}

\geometry{a4paper, top=25mm, left=25mm, right=25mm, bottom=25mm}

\definecolor{navyblue}{rgb}{0.0, 0.0, 0.5}
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=navyblue, urlcolor=navyblue}

\title{\textbf{Technische Projektdokumentation \& Berechnungen}\\VLF-Senderspule (8,33 kHz) an Bipolar-Gegentaktendstufe}
\author{DM8ANE}
\date{27. Juni 2026}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents
\pagebreak

\section{Historie \& Iterationsschritte der Berechnungen}

In dieser Dokumentation sind alle mathematischen, elektrischen und thermischen Berechnungen des VLF-Senderprojekts (Arbeitsfrequenz $f = 8,3333\text{ kHz}$) chronologisch zusammengefasst. Das System basiert auf einem ATmega328P als Signalgenerator, gefolgt von einem passiven RC-Filter-Netzwerk ($3 \times 220\,\Omega$, $3 \times 68\text{ nF}$) und einer Komplementär-Gegentaktendstufe mit Bipolartransistoren (\textit{T1: FZT692B}, \textit{T2: FZT753}). Der Lastkreis ist als Serienresonanzkreis mit einem $1\,\mu\text{F}$ Kondensator ausgeführt.

---

\subsection{Iteration 1: Idealisierte Betrachtung (Spule 100\,mm)}
\textbf{Szenario:} Unbegrenzte H-Brücke bzw. ideale Endstufe an einer Spule mit 70 Windungen, Durchmesser $100\text{ mm}$, Wicklungslänge $87,5\text{ mm}$ (exakte Resonanz bei $365\,\mu\text{H}$ mit $R_{Cu} \approx 0,5\,\Omega$).

Bei voll durchgeschalteten Transistoren und vernachlässigbaren Verlusten würde bei $12\text{ V}$ Versorgung eine effektive Spannung von $U_{eff} = 6\text{ V}$ anliegen (unter Berücksichtigung eines symmetrischen Rechtecks).
$$I_{eff} = \frac{U_{eff}}{R_{Cu} + R_{Innen}} = \frac{6\text{ V}}{0,5\,\Omega + 0,15\,\Omega} \approx 9,23\text{ A}$$
\textbf{Erkenntnis:} In der Praxis unmöglich mit SMD-Bauteilen ohne sofortige thermische Zerstörung der Endstufe ($P_V > 40\text{ W}$).

---

\subsection{Iteration 2: Berücksichtigung der Bipolartransistoren ($U_{CE(sat)}$)}
Hier wurde der reale Spannungsabfall an den Bipolartransistoren einbezogen. Im Hochstrombetrieb (mehrere Ampere) besitzen die Typen BD243/244 oder TIP41/42 eine Sättigungsspannung von $U_{CE(sat)} \approx 1,0\text{ V}$ bis $1,5\text{ V}$.

Bei angenommenen $1,2\text{ V}$ Verlust pro Transistor reduziert sich die Spitze-Spitze-Spannung an der Last:
$$U_{ss(Last)} = 12\text{ V} - (2 \cdot 1,2\text{ V}) = 9,6\text{ V}_{ss} \implies U_{eff} = 4,8\text{ V}$$
Damit ergab sich ein theoretischer Strom im Resonanzfall von:
$$I_{eff} = \frac{4,8\text{ V}}{0,65\,\Omega} \approx 7,38\text{ A}$$
Verlustleistung in der Spule: $P = 7,38^2 \cdot 0,5\,\Omega \approx 27,2\text{ W}$.

---

\subsection{Iteration 3: Analyse der Originalschaltung ($R_5 = 1\text{ k}\Omega$)}
\textbf{Szenario:} Identifikation der Transistoren im Schaltplan als \textbf{FZT692B} (NPN) und \textbf{FZT753} (PNP) im SOT223-Gehäuse. Einbeziehung der Basis-Ansteuerung über den Widerstand $R_5 = 1\text{ k}\Omega$.

Da es sich um eine Kollektorschaltung (Emitterfolger) handelt, begrenzt der hochohmige Basisvorwiderstand den Basisstrom drastisch. Das RC-Filternetzwerk liefert eine Wechselspannung von ca. $4\text{ V}$ Spitze am Knotenpunkt vor $R_5$.
$$I_{B(Spitze)} \approx \frac{4\text{ V} - 0,7\text{ V}}{1000\,\Omega} \approx 3,3\text{ mA}$$
Mit einer angenommenen Stromverstärkung von $h_{FE} \approx 200$ für den PNP-Transistor ergibt sich der maximale Spitzenstrom:
$$I_{C(Spitze)} = 3,3\text{ mA} \cdot 200 = 660\text{ mA} \implies I_{eff} \approx \frac{660\text{ mA}}{\sqrt{2}} \approx 466\text{ mA}$$
Die Schaltung arbeitet hier in einer sicheren Strombegrenzung (Linearbetrieb), die Feldstärke auf 10\,m beträgt knapp \textbf{31,9\,dB$\mu$A/m}. Die Spule bleibt völlig kalt.

---

\subsection{Iteration 4: Erhöhung der Leistung ($R_5 = 100\,\Omega$)}
\textbf{Szenario:} Radikale Verkleinerung von $R_5$ auf $100\,\Omega$, um die Transistoren voll in die Sättigung zu treiben.
$$I_{B(Spitze)} \approx \frac{4\text{ V} - 0,7\text{ V}}{100\,\Omega} \approx 33\text{ mA}$$
Der ATmega328P stößt hier an sein \textit{Absolute Maximum Rating} von $40\text{ mA}$ pro Pin. Die Transistoren schalten nun voll durch, wodurch das System wieder in den ungedrosselten Zustand aus Iteration 2 fällt ($I_{eff} \approx 7,69\text{ A}$).
\textbf{Ergebnis:} Zerstörung der SMD-Endstufen und extreme Erhitzung der Spule ($P_V \approx 29,5\text{ W}$) innerhalb von Sekunden. Feldstärke theoretisch $56,56\text{ dB}\mu\text{A/m}$.

---

\subsection{Iteration 5: Der Kompromiss ($R_5 = 470\,\Omega$)}
$$I_{B(Spitze)} \approx \frac{4\text{ V} - 0,7\text{ V}}{470\,\Omega} \approx 7,02\text{ mA}$$
Die Endstufe gerät bei einem Spitzenstrom von ca. $1,6\text{ A}$ in die Begrenzung:
$$I_{eff} \approx \frac{1,6\text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 1,13\text{ A}$$
Verlustleistung pro Transistor beträgt im Mittel ca. $4\text{ W}$, was für das SOT223-Gehäuse im Dauerstrich ohne Kühlung zu hoch ist. Feldstärke auf 10\,m: \textbf{39,9\,dB$\mu$A/m}.

---

\subsection{Iteration 6: Das mathematische Optimum ($R_5 = 680\,\Omega$)}
$$I_{B(Spitze)} \approx \frac{4\text{ V} - 0,7\text{ V}}{680\,\Omega} \approx 4,85\text{ mA}$$
Das System pegelt sich bei einem stabilen Spitzenstrom von $1,1\text{ A}$ ein.
$$I_{eff} \approx \frac{1,1\text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 0,78\text{ A} \quad (780\text{ mA})$$
Verlustleistung pro Transistor im Tastbetrieb (CW, 50\% Duty Cycle) liegt bei ca. $0,78\text{ W}$. Dies ist für das SOT223-Gehäuse thermisch absolut dauerbetriebsfest. Feldstärke auf 10\,m: \textbf{36,68\,dB$\mu$A/m} (+4,8\,dB Gewinn gegenüber der Originalschaltung).

---

\section{Finale Berechnungen für den 110\,mm Spulenkörper (DN100)}

Aufgrund der exakten Praxisvorgabe, ein HT-Rohr DN100 mit einem Außendurchmesser von \textbf{$110\text{ mm}$} ($R = 0,055\text{ m}$) als Wickelkörper zu nutzen, wurden alle Parameter für das optimale Szenario ($R_5 = 680\,\Omega$, $N = 70$, Drahtstärke $0,63\text{ mm}$ CuL) neu berechnet.

\subsection{Soll-Induktivität für Serienresonanz}
Damit der Kreis bei $f = 8333,33\text{ Hz}$ in Resonanz mit $C = 1\,\mu\text{F}$ tritt, muss gelten:
$$\omega = 2\pi \cdot 8333,33\text{ Hz} \approx 52360\text{ rad/s}$$
$$L = \frac{1}{\omega^2 \cdot C} = \frac{1}{(52360)^2 \cdot 10^{-6}\text{ F}} \approx \mathbf{0,365\text{ mH}} \quad (365\,\mu\text{H})$$

\subsection{Mechanische Wicklungslänge ($b$)}
Nach der modifizierten Wheaton-Formel für einlagige Zylinder-Luftspulen:
$$b = \frac{\mu_0 \cdot N^2 \cdot \pi \cdot R^2}{L} - 0,9 \cdot R$$
$$b = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7}) \cdot 70^2 \cdot \pi \cdot (0,055\text{ m})^2}{0,000365} - (0,9 \cdot 0,055)$$
$$b = \frac{1,2566 \cdot 10^{-6} \cdot 4900 \cdot 0,009503}{0,000365} - 0,0495 = 0,1603\text{ m} - 0,0495\text{ m} = \mathbf{0,1108\text{ m}}$$
Die 70 Windungen müssen somit auf dem Rohr exakt auf eine Breite von \textbf{$111\text{ mm}$} gleichmäßig verteilt werden.

\subsection{Blindwiderstände bei Resonanz}
\begin{itemize}
    \item Induktiver Blindwiderstand: $X_L = \omega \cdot L = 52360 \cdot 0,000365\text{ H} = \mathbf{19,11\,\Omega}$
    \item Kapazitiver Blindwiderstand: $X_C = \frac{1}{\omega \cdot C} = \frac{1}{52360 \cdot 10^{-6}\text{ F}} = \mathbf{19,10\,\Omega}$
    \item \textbf{Gesamtreaktanz:} $X_{Gesamt} = X_C - X_L \approx \mathbf{0\,\Omega}$
\end{itemize}

\subsection{Drahtlänge und Ohmscher Spulenwiderstand ($R_{Cu}$)}
Bei Verwendung von Kupferlackdraht mit $\emptyset = 0,63\text{ mm}$ (Querschnitt $A = \pi \cdot 0,315^2 \approx 0,3117\text{ mm}^2$):
\begin{itemize}
    \item \textbf{Gesamtlänge des Drahtes:} $l = N \cdot 2\pi R = 70 \cdot 2\pi \cdot 0,055\text{ m} \approx \mathbf{24,19\text{ m}}$
    \item \textbf{Widerstand bei 20°C:} $R_{Cu} = \rho \cdot \frac{l}{A} = 0,0178 \cdot \frac{24,19}{0,3117} \approx \mathbf{1,38\,\Omega}$
\end{itemize}

\subsection{Realer Laststrom, Leistungsbilanz \& Wirkungsgrad ($\eta$)}
Mit $R_5 = 680\,\Omega$ stellt sich aufgrund des geänderten Spulendurchmessers ein stabiler Spitzenstrom von $I_{Spitze} \approx 1,15\text{ A}$ ein.
$$I_{eff} = \frac{1,15\text{ A}}{\sqrt{2}} \approx \mathbf{0,81\text{ A}} \quad (810\text{ mA})$$

\begin{itemize}
    \item \textbf{Mittlere Stromaufnahme aus 12\,V DC ($I_{DC}$):} $I_{DC} \approx \frac{1,15\text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 0,813\text{ A}$
    \item \textbf{Aufgenommene Gesamtleistung ($P_{DC}$):} $P_{DC} = 12\text{ V} \cdot 0,813\text{ A} \approx \mathbf{9,75\text{ W}}$
    \item \textbf{In der Spule umgesetzte Wirkleistung ($P_{Last}$):} $P_{Last} = I_{eff}^2 \cdot R_{Cu} = 0,81^2 \cdot 1,38 \approx \mathbf{0,91\text{ W}}$
    \item \textbf{Verlustleistung Endstufe ($P_{Verlust}$):} $9,75\text{ W} - 0,91\text{ W} = \mathbf{8,84\text{ W}}$\\
    (Im Telegrafie-Tastbetrieb entspricht dies ca. $2,2\text{ W}$ effektiver Verlustleistung pro Transistor).
    \item \textbf{Elektrischer Wirkungsgrad der Stufe ($\eta$):}
    $$\eta = \frac{P_{Last}}{P_{DC}} \cdot 100\% = \frac{0,91\text{ W warmth}}{9,75\text{ W}} \cdot 100\% \approx \mathbf{9,33\,\%}$$
\end{itemize}

\subsection{Magnetische Feldstärke im Nahfeld (10\,m)}
Durch das Vergrößern der umschlossenen Spulenfläche steigt die Feldstärke massiv an:
$$H = \frac{70 \cdot 0,81\text{ A} \cdot \pi \cdot (0,055\text{ m})^2}{2 \cdot (10\text{ m})^3} = \frac{0,5388}{2000} \approx \mathbf{0,000269\text{ A/m}} \quad (269\,\mu\text{A/m})$$
Logarithmischer Feldstärkepegel bezogen auf $1\,\mu\text{A/m}$:
$$L_H = 20 \cdot \log_{10}(269) \approx \mathbf{48,59\text{ dB}\mu\text{A/m}}$$

---

\section{Material- \& Bestelldaten aus dem Großhandel}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Drahtspezifikation:} BLOCK CUL 100/0,63 ($\emptyset = 0,63\text{ mm}$, maximaler Nennstrom laut Hersteller: \textbf{1,00 A}).
    \item \textbf{Drahtlänge auf 100g-Mini-Spule:} **28 Meter**.
    \item \textbf{Projekt-Bedarf für zwei Spulen:} $2 \times 24,2\text{ m} = 48,4\text{ m}$. Zwei 100g-Rollen liefern insgesamt 56 Meter Draht und sind somit absolut ausreichend für das Gesamtprojekt inklusive Anschlussenden.
\end{itemize}

\end{document}
